Поставке и критике Пијажеове теорије о развоју мишљења и развоју појма скупа



Семинараски рад из предмета
МЕТОДИКА РАЗВОЈА ПОЧЕТНИХ МАТЕМАТИЧКИХ ПОЈМОВА
Наташа Анђелковић
април 2009.


Тема:
ПОСТАВКЕ И КРИТИКЕ ПИЈАЖЕОВЕ ТЕОРИЈЕ О РАЗВОЈУ МИШЉЕЊА
И РАЗВОЈУ ПОЈМА СКУПА



САДРЖАЈ
1. ПИЈАЖЕОВА ТЕОРИЈА ИТЕЛЕКТУАЛНОГ РАЗОВОЈА ДЕТЕТА
2. ПИЈАЖЕОВИ ЗАКЉУЧЦИ О ОСНОВНИМ КАРАКТЕРИСТИКАМА МИШЉЕЊА ПРЕДШКОЛСКЕ ДЕЦЕ (ПРЕОПЕРАЦИОНИ СТАДИЈУМ МИШЉЕЊА)
3. НЕКЕ ОД КРИТИКА УПУЋЕНИХ ПИЈАЖЕОВОЈ ТЕОРИЈИ
4. РАЗВОЈ ПОЈМА СКУПА
5. ПРИМЕР ЈЕДНЕ МАТЕМЕТИЧКЕ АКТИВНОСТИ
6. ЛИТЕРАТУРА



ПИЈАЖЕОВА ТЕОРИЈА ИТЕЛЕКТУАЛНОГ РАЗОВОЈА ДЕТЕТА

УВОД
Основно питање које је, на самим почецима развоја теорија о интелектуалном развоју детета, довело до појаве различитих теоријских гледишта јесте питање: Да ли се и како мишљење детета разликује од мишљења одрасле особе?
Према традиционалном схватању, оно што опажамо као специфичности дететовог мишљења (а што се обично манифестује кроз „дечија уста“) производ је чињенице да дете има мање знања о свету (и себи самом у том свету) наго одрасла особа. Услед тога, а не зато што мисли на неки квалитативно различит начин, оно често доноси „необичне“ закључке.
Четрдесетих година прошлог века, истраживања Жана Пијажеа (1896-1980), швајцарског биолога и психолога, озбиљно су довела у питање овакве традиционалне ставове. Испитујући децу од две до шест година старости, Пијаже је дошао до закључка да се начин на који дете мисли систематски и квалитативно разликује од мишљења одрасле особе. На основу тих истраживања, он је описао и објаснио читав низ специфичности и обележја карактеристичних само за дечије мишљење, које се на каснијим узрастима губе и уступају место зрелијим облицима мишљења.
Пијаже је развио такозвану „конструктивистичку" теорију о развоју детета према којој се беба рађа без икаквих знања, а затим, посматрајући свет око себе, постепено уобличава разумевање тог света. Своју теорију Пијаже, најзначајнији развојни психолог ХХ века, објашњава у својим делима, од којих су најпознатија:
''Језик и мисао код детета'' (1923.), ''Логичко расуђивање и размишљање код детета'' (1924.), ''Порекло интелигенције код деце'' (1948.) и ''Рани развој логике код детета'' (1964.).
До својих открића о карактристикама мишљења деце појединог узраста Пијаже је дошао на основу резултата конкретних експеримената. Чињеница да је његова теорија изникла из закључака мерљивих метода истраживања (екперимената који се лако могу проверавати), је један од разлога због којих је ова теорија когнитивног развоја најпре:
откривајући пут развоја појединих мисаоних структура извршила огроман утицај на процес образовања деце у протеклим деценијама, а затим и постала основ за нова истраживања, проверу постојећих Пијажеових екперимента и трагања за новим истинама осмишљавањем нових екперимената, који су се ослањали на екперименте Пијажеа, али су представљали и искорак даље;
Захваљујући томе данас можемо говорити о томе да су многи ставови Пијажеове теорије озбиљно уздрмани резултатима нових истраживања. О овој теми биће речи у тексту „Неке од критика упућених Пијажеовој теорији''.



ОСНОВНЕ ПОСТАВКЕ ПИЈАЖЕОВЕ ТЕОРИЈЕ

Према Пијажеовој теорији, когнитивни развој детета одвија се кроз следеће стадијуме:
1. Сензо-моторни стадијум (од рођења до 2. године).
2. Стадијум преоперационог мишљења (од 2.до 5 или 6 године).
3. Стадијум конкретних операција или логичког мишљења (од 7. до 12. године).
4. Стадијум формално-логичких операција или апстрактног мишљења (од 12. године па на даље).
За Пијажеа је битан непромењиви редослед наведених стадијума, а не њихове узрасне границе. Односно, наведене узрасте појављивања одређеног стадијума треба условно схватити, јер су могуће индивидуалне варијације у том погледу. Када дете у потпуности овлада могућностима једног стадијума оно га превазилази и прелази на следећи стадијум.
Мишљење је, по Пијажеу, само један вид сазнајне активности. Иако Пијаже сматра да сазнајни развој почиње рођењем и да се најранији облици сазнања састоје у опажајно пракитчној делатности, он тврди да мишљење почиње да се развија касније.
У сензомоторном периоду, сазнајна активност се одвија кроз опажаје и практичне акције, дакле, односи се искључиво на оно што непосредно окружује дете, оно што је сада и овде, у његовом опажајном пољу. За разлику од опажајно практичне активности, мишљење подразумева представљање (мада се никако не своди на њега) онога што није у опажајном пољу. Мишљење, дакле, превазилази „сада“ и „овде“, а нужан услов за то превазилажење је способност представљања одсутног, односно пермаментости објекта. Због тога је од изузетне важности утврдити када се јавља схватање пермаментности објекта. Нешто касније осврнућемо се на различите ставове психолога, по овом питању.

ФАКТОРИ КОЈИ УТИЧУ НА ПРЕЛАЗ ИЗ ЈЕДНОГ СТАДИЈУМА У РАЗВОЈУ МИШЉЕЊА У ДРУГИ

Фактори, које наводи Пијаже, који утичу на прелаз из једног стадијума у развоју мишљења у други стадијум су:
1. Сазревање.
Сазревање је развојни процес који се одвија по унапред уређеном програму. Оно је повезано са променама до којих долази у нервном систему. Оно подразумева да дете, док не достигне одређени ступањ сазревања, не може усвојити неке садржаје нити уочити односе између њих. Сазревање одређује ток когнитивног развоја и због тога је редослед наведених стадијума исти код сваког детета.
2. Искуство.
Иако је редослед стадијума константан, време њиховог појављивања варира и зависи од искуства.
3. Социјално наслеђе
Социјално наслеђе има значајну улогу у когнитивном развоју али оно није довољно, јер дете може разумети и усвојити поједине инфомрације путем говора и образовања тек онда када је досегло одређени ступањ развоја.
4. Фактор уравнотежења
Фактор уравнотежења је основни и најважнији по Пијажеу. У процесу сазнавања појединц је активан и, ако се суочи са спољашњом ситуацијом која ремети његову равностежу, он ће покушати да је поврати. У том контексту Пијаже говори о два супротстављена механизма која се заправо, допуњују. Први је процес асимилације тј. напора да се изађе на крај са средином тако што ће се она прилагодити постојећим структурама организма. Други је процес акомодације тј. напора да се понашање организма усклади са средином.

Вратимо се на четири поменута стадијума у развоју мишљења и осврнимо се на неке од основних карактеристика свакога стадијума, онако како их је видео Пијаже.

СЕНЗО-МОТОРНИ СТАДИЈУМ (од рођења до 2. године)

Сензо-моторни стадијум је, по Пијажеу, први период у развоју интелигеницје. У овом стадијуму развоја ителигенције дете сазнаје стварност на сензороном нивоу тј. кроз своја чулна искуства и кроз моторно (мишићно) извршавање радњи. Због тога је од изузетне важности пружити детету овог узраста што већи број различитих чулних надражаја и подстицати различите облике његових моторних активности.
Једноставни и крути моторни обрасци које дете доноси на свет рођењем (као рефлекс сисања и хватања) увежбавањем постају прецизнији, разноликији и сложенији.
Дете увиђа да својим понашањем може да утиче на околину, што води појави намерног и сврсисходног понашања.
Као што је раније поменуто, Пијаже сматра да беба нема играђен појам о сталном објекту, па се о мишљењу, које подразумева предствљање може говорити тек касније. Наиме, Пијаже тврди да дете мисли да предмет постоји само док га оно види а да формирање појма о констатности предмета зависи од дечијег искуства и способности памћења.
Дете најпре почиње да разликује себе од околног света, да би крајем прве године, увидело да околни предмети настављају да постоје и онда када се изгубе из видног поља (перманентност објекта). Даљи развој унутрашње, менталне представе објекта омогућен је јачањем функција симболизације у другој години живота, на првом месту развојем говора.
Експеримент који Пијаже наводи у овом разматрању о схватању пермаметности објекта оштро је критикован и данас постоје докази који се супротстављају Пијажеовом мишљењу да беба није у стању да увиди константност предмета.

ПРЕОПЕРАЦИОНИ СТАДИЈУМ (2 до 7 година)

У овом периоду дете почиње да овладава својим чулим искуствима и вештинама битним за развој математичких појмова: овладава говором, ходом, дохватањем и координацијом покрета у поростору, проналази скривени предмет, може да упостави 1-1 коресподенцију (нпр. ставља 5 шољица на 5 тацни) доводи предмете у међусони однос, из гомиле излачи један предмет по налогу, врши почетне видове класификације, учи увиђањем и др.
Овај период је важан јер се у њему јавља говор и почеци симболичких функицја тј. оно о чему се говори не мора увек бити и присутно. Пијаже сматра да дете овог узраста још увек није у стању да логички закључјује и не може да врши класификацију по два и више својства.
У овом периоду се повећава способност памћења, обогаћује речник и долази до фомирања већег броја појмова.

СТАДИЈУМ КОНКРЕТНИХ ОПЕРАЦИЈА (7 до 12 година)

У току овог стадијума мишљење детета постаје логичније (долази до појаве првог правог логичког мишљења), мање егоцентрично и мање зависно од непосредних перцептивних искустава. Дете је у стању да врши менталне операције »у глави«, нпр. да рачуна, да мисли о предметима, о класама предмета и о односима међу класама. Значајна нова одлика мисаоног процеса у овом периоду јесте реверзибилност (могућност да се изводе инверзне операције, тј. операције ''враћања у назад'') која омогућава да дете постепено овлада конзервацијом броја (са 6 година), запремине (са 7 година) и масе (са 8 година), што представља основ математичког мишљења. У току овог стадијума дете у потпуности овладава и појмовима серијације (могућност да се одређене ствари поређају по одређеном реду), и класификације ( коју сада може да врши узимајући у озбир више особина објектата које класификује).

СТАДИЈУМ ФОРМАЛНИХ ОПЕРАЦИЈА (почев од 12 година)

У току стадијума формалиних операција развија се апстрактно мишљење и дете постаје способно да мисли у апстрактним категоријама, односно, да »расуђује о мишљењу«, да доноси закључке на основу апстрактних претпоставки, да формулише опште законе и принципе, да разуме метафоре и сл. Захваљујући томе оно је способно да се визуелно одвоји од конкретних објеката, а да задатак ипак реши. У овом периоду дете поприма карактеристике мишљења одаслих, а то подразумева извођење мисаоних операција са апстракним симболима и појмовима у замишљеним хипотетичким ситуацијма. Сазнајне структуре свој највиши степен досежу око 15-есте године. Након тога напредак није завршен, али нема значајних промена у нервним структурама. Разлика у мишљењу адолесцената и одраслих је више кватитативна него квалитативна.

ПИЈАЖЕОВИ ЗАКЉУЧЦИ О ОСНОВНИМ КАРАКТЕРИСТИКАМА МИШЉЕЊА ПРЕДШКОЛСКЕ ДЕЦЕ (ПРЕОПЕРАЦИОНИ СТАДИЈУМ МИШЉЕЊА)

Основне каратеристике мишљења детета предшколског узраста јесу егоцентризам и неспособност децетрације и јак утицај непоредног перцептивног искуства. Ове осообине су у основи низа других специфичности дечијег мишљења.
Пијаже наводи и да прекретницу у развоју дечијег мишљења представља превазилажење егоцентризма и могућност децентрације.

ЕГОЦЕНТРИЗАМ И НЕМОГУЋНОСТ ДЕЦЕНТРАЦИЈЕ

Дете сматра да сви мисле исто што и оно, сви виде ствари на начин на који их оно види, па не осећа потребу да своја мишљења и објашњава. За њега, његово мишљење о некој појави није само једно од могућих мишљења, оно верује да је управо то једина истина. Ову своју тврдњу Пијаже објашњава кроз резултате теста ''Три планине''.
Тест „Три планине“ Пијаже је изводио на следећи начин. Пред дете је поставио три купе (које треба да представљају планине). Око ове поставке премештао је лутку и резулати овог екпреимента навели су га на закључак да дете неће бити у стању да одреди како се "три планине" виде са различитих тачака гледишта лутке. Односно да дете не може да, између неколико погрешних, одабере слику која приказује планине са задате, луткине, тачке гледишта. Дете, по Пијажеу, неће бити у стању да реши овај задатак све док се не ослободи перцептивног егоцентризма (искључиве везаности за
сопствену тачку гледишта) и не стекне способност да замисли тачку гледишта другога, тј. док не стекне способност децентрације.
Овај екперимент и схватање Пијажеа о егоцентричности предшколског детета оштро је критикован, па ће о томе бити више речи у следећем тексту.

ЈАК УТИЦАЈ НЕПОСРЕДНОГ ПЕРЦЕПТИВНОГ ИСКУСТВА

Пажња детета је везана (центрирана) за само један (појавно најупадљивији) аспект ситуације коју посматра, тако да оно није у стању да узме у обзир и друге аспекте одређене ситуације, који су битни да би је правилно схватило. Рецимо, Пијаже наводи екпериемент са нивоом течности у двема чашама различите ширине и истиче да дете није у стању да увиди да је колична воде у ове две чаше иста, већ се његова пажња везује за висину или ширину чаше, односно воде у њој.
Дакле, мишљење детета је под јаким утицајем неспоредног перцептивног искуства и дете не схвата да физичка својства предмета као што су број, запремина или маса, остају непромењена, без обзира на промену изгледа или просторног распореда. Другим речима, дете, на овом супњу мишљења, још није овладало појмом конзервације.

АРТИФИЦИЈАЛИЗАМ

Артифицијализам је схвтање да су сви објекти произведени на исти начин и то најчешће од стране одраслог.
У центру овог начина схватања је „мотивациони узрок'': „Све што се збива из неког разлога, проузрокује Бог или човек“.

ФИНАЛИЗАМ

Финализам је схватање слично артифицијализму, али му недостаје приписивање мотива и свести. Било шта се узима као узрок
било чега, под условом да нека веза постоји: месец стоји на небу јер је жут, река тече да би стигла у језеро и сл.

АНИМИЗАМ

Анимизам је схватање по којем се стварима и природним појавама придодају особине живих бића. Ово схватање постепено се губи већ током предшколског периода.

СИНКРЕТИЗАМ

Синкретизам (неповратност) представља немогућност увиђања везе између делова и целине. Деца нису у стању да деле целину на делове, а да се затим мисаоно врате и упореде делове са целином.

ПАРТИЦИПАЦИЈА

Партиципација се јавља веома често на узрастима испод пет или шест година. Дете овог узраста мисли да, ако су две ствари по нечему сличне, једна може да проузрокује другу, па се тако сенке у соби стварају због сенки напољу.

МАГИЈСКА УЗРОЧНОСТ

Збрка између ја и остатка света наводи дете да верује у ''магијску узрочност'' по којој његове жеље и поступци могу да утичу на тај свет.

МОРАЛНА УЗРОЧНОСТ

„Морална узрочност'' можда звучи као примитивна „мотивациона узрочност'', али овде је мотив морални мотив: чамци „морају'' да пливају, пошто иначе не би били корисни и људи би се у њима давили.

НЕМОГУЋНОСТ РЕВЕРЗИБИЛНИХ МИСАНИХ ПРОЦЕСА

Дете чије се мишљење налази на предоперационом нивоу није у стању да ''врати'' процес мишљења уназад. Као што је већ истакнуто, овладавање реверзибилниим процесима мишљења омогућава развој конзервације броја, запремине и масе.

ДИЛЕМЕ И ЗАПАЖАЊА ИЗ ПРАКСЕ И ЛИЧНОГ ИСКУСТВА

Током васпитно образовног рада са децом у вртићу, може се запазити, да на узрасту од нешто више од четири године, деца постају веома заинересована за појам броја. Тада су честа дечија питања и констатације: „Сада нас има четири“, и сл. Ако ту децу упитамо: ''Када оде нпр. Маша, колико ће деце остати?'', највероватније је да ћемо добити тачан одговор.
Искуство говори да, када деца показују интересовање за нешто, то представља одличан знак да се она тада налазе у критичној фази за развој појмова за који се интересују.
Поред дечијег интересовања за број, васпитач се, у својој пракси, не ретко сусреће са децом која на предшколском узрасту решавају логичке операције не само сабирања него и одузимања, веома често до десет а затим и до двадесет па и до сто, у предшколској групи.
Ово запажање могло би се претворити у смелу хипотезу да је појам броја могуће развити код деце раније него што је то предвидео Пијаже и хипотезу да је могуће, одређеним утицајима, допринети ранијем преласку на следећи ниво у развоју мишљења. Наравно, ова хипотеза је само хипотеза. Она тражи и конкретне доказе.
Може се претпоставити да, већ данас, на Инернету можемо пронаћи истраживања која иду у овом смеру. У прилог томе иду и поменуте критике Пијежеове теорије које померају границе (постављене његовом теоријм) појављивања одређених логичко
математичких структура код деце, а које се не могу приписати само акцелерацији у дечијем развоју.
Као конкретан пример да је дете предшколког усраста у стању и да схвати појам броја, односно да га представи симболом, и да изврши операције сабирања и одузимања (што значи да разуме реверзибилност за коју Пијаже каже да се формира око 7-ме године) наводим задатке које је решавао Небојша А. са четири године и једанаест месеци. Као што видимо из слике бр. 3 Небојша је на узрасту од нешто мање од 5 година решавао задатке сабирања и одузимања до 20. Познато ми је да је ваћ са четири године, исто као и његов брат Немања, решавао слично постављене математичке задатке сабирања и одузимања до десет. Оба дечака у каснијем узрасту нису имали проблема из математике. Небојаша је развио ову своју способност логичко математичкг мишљења до тих граница да је током основног школовања освајао награде на многобројним математичким такмичењима.

Знамо да је предшколски период критичан за формирање менталних операција реверзибилности, класификације, серијације и других логичко математичких операција.
Међутим, као што се може наслутити, оно што се може поставити као интересантно питање јесте: Да ли рани развој ових менталних операција и формирање појма скупа и броја, може створити предиспозицију да дете, у годинама које следе, има више успеха у логичко математичким задацима и брже савладава школске задатке из математике?
Ове дилеме пстаће дилеме док се не докажу или не оповгрну. Као што је већ речено, данас постоје аутори који се, више или мање, не слажу са неким од ставова Пијажеове теорије. У редном тексту упознаћемо неке од  критика упућених овој теорији.


НЕКЕ ОД КРИТИКА УПУЋЕНИХ ПИЈАЖЕОВОЈ ТЕОРИЈИ

Многи ставови Пијажеове теорије озбиљно су уздрмани новим истраживањима. Тако данас има аутора који се више или мање супротављају Пијажеовој теорији и који је више или мање и даље подржавају. Сваки од ова два става може се бранити одговарајућим чињеницама.
Полемишући са ставовима Пијажеа, психолози (углавном биританске и америчке школе) наводили су и наводе аргументе у прилог ставу да у дететовом мишљењу има много мање специфичности него што је то тврдио Пијаже. Озбиљне критике Пијажеове теорије односе се и на ослањање на непоуздане показатеље као што су нпр. моторне радње бебе, при тестирању пермаметности објекта и дијалог између испитивача и испитаника тј. деце.
У прилог ставу који су развили и разрадили британски и амерички психолози, говори следећа ситуација из живота:
Једна породица са два мала сина (5 и 9 година), дошла је на летовање у место у коме је претходно боравила пре него што је млађи син био рођен. Родитељи су се све време подсећали свог претходног боравка у том месту, при чему би увек помињали старјег сина. У једном тренутку, млађи син је упитао где је он тада био. Пошто је мајка одговорила да је он тада био у њеном стомаку, дечак је ужаснуто питао: „А зашто си ме прогутала?“
Дечак је извео погрешан закључак на основу непознавања анатомије и физилогије трудноће. Међутим, сам процес закључивања је био потпуно исправан.
Тај закључак је изведен по моделу савршеног силогизма:
Велика премиса: Ствари доспевају у стомак тако што се прогутају; Мала премиса: Ја сам био у стомаку; Закључак: Ја сам био прогутан;
Овакви примери иду у прилог ставу да деца само наизглед мисле различито од одраслих, а да је заправо реч о томе да она немају довољно знања. Другим речима, разлика између детета и одраслог у овом погледу је више кватитативна, а мање квалитативна.

ПОЈАМ О ПЕРМАМЕТНОСТИ ОБЈЕКТА

Оно што Пијаже истиче као једну од карактеристика мишљења детета узрста до две године јесте његова неспособност да схвати сталност објекта. Наиме, Пијаже тврди да дете мисли да предмет постоји само док га оно види а да формирање појма о констатности предмета зависи од дечијег искуства и способности памћења. Према Пијажеу, пошто дете формира појам о постојаном објекту (9 месеци), репрезентацја постаје временом, све назависнија од околности, тако да је дете крајем друге године (18-24 месеци) у стању да прати скривене и многоструко премештане објекте.
Средишњи доказ на темељу којег Пијеже износи своју тврдњу јесте овај: ако пустите дете од пет или шест месеци да се игра малом играчком и онда ову прекријете кутијом, или неким прекивачем, док вас дете посматра, оно најчешће неће ни покушати да одигне прекивач и поново узме играчку. Тако ће бити чак и ако је испољило велико интересовање за играчку, па чак и када, на основу других доказа, знате да је дете у стању да добро управља покретима своје руке и шаке и да може да досегне и дохвати оно што му је потребно.
Онога тренутка када дете почиње да тражи сакривени предмет, може се сматрати и да је у стању да га представи (у почетку само краткотрајно, и само ако је предмет сакривен пред његовим очима). Овај изузетно важан моменат у интелектуланом развоју јавља се, по Пијажеу, на узрасту од око 9 месеци.
Критика упућена овом Пијажеовом ставу могла би се описати на следећи начин: чињеница да беба није посегла за предметом који је сакривен под ћебе не подржава прилично драматичан закључак да беба мисли да је предмет престао да постоји.
Насупрот Пијажеовој теорији, нови експерименти указали су на то да чак и веома мале бебе имају добро развијену свест о перманентности објекта.
Начин ишчезавања премета је од изузетне важности. Један начин да предмет ишчезне јесте да се са њега уколони свака светлост. Развој технологије је омогућио да предмет може да ''ишчезне'' простим искључивањем светлости у замараченој просторији, а да се понашање детета може и даље посматрати. Такав оглед су изели Том Бауер и Џенифер Висхарт. Резултати су дали следећи резултат: бебе су посезале у одговараућем смеру како би поново нашле своју играчку. Постоји и читав низ других експеримената који су проучавали развој појма пермаметности предмета истражујући његову повезаност са нпр. начином на који предмет ''ишчезава'', развојем појма о кретању предмета и др.

ОСЕЋАЈ ЗА БРОЈ И НЕДОСТАЦИ ОСЛАЊАЊА НА ГОВОРНУ КОМУНИКАЦИЈУ СА ДЕЦОМ

Пијаже је тврдио да деца не поседују осећај за број све до узраста око пет година.
У једном од својих експеримената, који су много пута понављани од стране различитих испитивача, психолог би четворогодишњем детету показао ред од шест чаша и ред од шест флаша које су међусобно подједнако удаљене, а затим би га питао чега има више. Дете би увек одговорило да их је исто. Може се претпоставити да је дете уочило да свакој чаши у реду одговара једна флаша у другом реду. Затим би испитивач размакао чаше у једном реду, тако да образују дужи ред, па би поново питао дете да ли има више чаша или флаша. Сада би дете одговорило да има више чаша, очигледно заварано тиме што је тај ред дужи. "Ово несумњиво показује", закључио је Пијаже, "да дете не поседује добро развијен осећај за број." Конкретно, тврдио је Пијаже, четворогодишња и петогодишња деца још не схватају идеју очувања броја - немају представу о томе да размештање предмета у групи не мења њихов број. Конзервација броја јавља се тек на узрасту од око 6 година.
Као велику замерку овим, и сличним, Пијажеовим истраживањима други аутори наводе непоузданост ослањања на методу дијалога тј. на разговор са децом.
Ови аутори најпре навде да комуникација помоћу језика никада није потпуно објективна и ослобођена утицаја контекста, емоција, социјалних фактора и др. а затим постављају питање: Да ли је разалог добијених резултата Пијажеових екперимената неуспело споразумевање са дететом?
Колико дијалог може бити непоуздан показали су Зак Мелер и Том Бевер, током касних 60-тих година.
Мелер и Бевер извели су Пијажеов експеримент да би тестирали свест о очувању броја, али код двогодишње и трогодишње деце, за разлику од Пијажеа чији су испитаници имали четири или пет година. Деца су била савршено успешна. Зато нам је, уколико не верујемо да деца између четврте и шесте године привремено губе свест о очувању броја, потребно алтернативно објашњење Пијажеових резултата. Једно је лако доступно.
Деца око пете године старости почињу да развијају способност резоновања о мисаоним процесима друге особе - "Шта тата мисли кад каже да је то..." Ово пружа највероватније објашњење Пијажеових запажања и баца ново светло на његово схватање егоцетризма детета. Могуће је да деца своје одговоре дају ослаљајући се, између осталог, на оно што мисле да испитивач од њих очекује да кажу. На ову тенденицју давања социјално пожељних одговора указују и друга истраживања, како са децом, тако и са одраслима.
Са четири или пет година, дете мисли да су одрасли моћни и свезнајући. Како ће дете реаговати кад види да је испитивач размакао предмете у једном реду, а затим поставио потпуно исто питање као тренутак раније: "У ком реду има више предмета?" Дете би могло да резонује овако: "Хммм. Исто питање ми је и малопре поставио. Одрасли нису глупи. Обојица видимо да се број предмета није променио. Сигурно сам прошли пут погрешно разумео питање.''
Наравно, у ово не можемо бити сигурни. Покушаји да се до одговора дође испитивањем детета највероватније неће пружити убедљиве доказе, и то из истог разлога из ког је сумњив првобитни Пијажеов експеримент!
Да би потврдили да деца старија од две године имају добар осећај за број, Мелер и Бевер изменили су Пијажеов тест тако да се избегне ослањање на језик. Њихова идеја била је запањујуће једноставна. Уместо чаша и флаша, детету су показали два реда бомбоница. У једном реду било је шест бомбоница, а у другом четири. Некада би редови били исте дужине; некад би био дужи ред од шест,
а некад од четири бомбонице. Уместо да га питају у ком реду има више слаткиша, детету би једноставно рекли да може да изабере један ред и поједе га. Исход је био тачно онакав какав би сваки родитељ предвидео. Дете би без изузетка зграбило ред од шест слаткиша, без обзира на његову дужину. Добро је знало који ред садржи више чланова и, штавише, схватало је да број не зависи од распореда. Резултат је био подједнако убедљив и са двогодишњацима и са четворогодишњацима.
Мелеров и Беверов експеримент је стекао велико признање. Резоновање типа "шта он заправо хоће?", које је било присутно у Пијажеовом екперименту, овим екпериментом је избегнуто. Мелерови и Беверови млађи испитаници схватали су питања у експерименту дословно, и правилно су бројали предмете.
До истог закључка довела је још једна варијација првобитног Пијажеовог експеримента. Овог пута су Џејмс Мекгеригл и Маргарет Доналдсон са Единбуршког универзитета извели експеримент у малом луткарском позоришту. Као и Пијаже, почели су тиме што су образовали два реда са истим бројем предмета и питали дете у ком реду има више предмета. Пошто би дете тачно одговорило, испитивач би се правио да гледа на другу страну, а за то време плишани меда размакао би предмете у једном реду. Кад би се окренуо, испитивач би узвикнуо: "Ох, боже, меда је збркао редове. Да ли можеш поново да ми кажеш у ком реду има више предмета?" Деца између две и пет година без изузетка давала су тачан одговор. С обзиром на то да је меда продужио један ред, што испитивач није видео, дете је вероватно сматрало разумним то што му одрасла особа поново поставља исто питање. Али, кад би испитивач поновио поступак са истим дететом, с тим што би сам размакао предмете, четворогодишња и петогодишња деца одговарала би му исто као Пијажеу, заснивајући одговор на дужини.
Оно што је првобитни Пијажеов експеримент заиста показао било је то да четворогодишња и петогодишња деца умеју рационално да резонују о мотивацијама и очекивањима друге особе. То је важно и корисно откриће. Али није оно до ког је Пијаже мислио да је дошао.
Екперименти који истражују осећај за број ишли су и много даље од варијација на поменути екперимент Пијажеа. Тако се дошло до нових сазнања да чак и мале бебе поседују интуитивни појам броја.
Један од мноштва поменутих екперимената извели су Прентис Старки и његови сарадници на Пенсилванијском универзитету, 1980. године.
Старкијеви испитаници биле су бебе старе између шеснаест и тридесет недеља. Био је прави изазов пронаћи начин да се утврди шта тако млади испитаници мисле. Испитивачи су се ослонили на мерење бебиног нивоа концентације. Познато је да било каква новина, као што је нова играчка, једно време окупира бебину пажњу. Затим пажња почиње да попушта или се усмерава на неку другу новину. Захваљујући видео-технологији, Старки и његови сарадници били су у могућности да прате бебину пажњу снимајући њен поглед. Бебу је најчешће мајка држала у крилу, окренуту ка апаратури за извођење експеримента.
У једном од тих екперимента, беби су приказивани слајдови. На једном слајду виделе су се две тачке, једна до друге. Када су се први пут појавиле, привукле су бебину пажњу, и она је неко време гледала у њих. Кад је бебина пажња почела да опада, а поглед да јој лута, слајд је замењен новим који се веома мало разликовао од првог. Беба је накратко погледала. Слајд је поново промењен.
Сваки следећи слајд минимално се разликовао од претходног. Са сваким понављањем, бебини погледи - како је измерено с видео-касете постајали су све краћи. Затим су се, без упозорења, на екрану појавиле три тачке, уместо две. Бебино интересовање истог тренутка се повећало, и слику је посматрала дуже (од 1.9 до 2.5 секунде у једном извођењу експеримента). Дете је несумњиво уочило прелазак с две на три тачке. Друга група беба, којој су приказани слајдови обрнутим редом, приметила је прелазак с три на две тачке.

ЕГОЦЕНТРИЧНОСТ

Новија истраживања дала су резултате по којима ни на једном ступњу деца нису онолико егоцетрична колико је то тврдио Пијаже. Заузимање ставноишта другог људског бића изискује извесан напор али јаз између деце и одралих, у овом смислу, није толико дубок као што се то до недавно веровало.
Екперимент којим је Пијаже истраживао способност децетрирања деце носи назив ''Три планине''.

Критика овог Пијажеовог екперимента долази са новим екпериментом који је осмислио Мартин Хјуз. У његовом најједноставнијем облику користе се два зида, који се секу тако да образују крст, и две луткице које представљају полицајца и дечака. Гледано одзго (пре постављања лутке дечака на место, распоред изгледа као на слици бр.1.).
Слика 1: изглед експеримента пре постављања лутке
Приликом испитивања које је обавио Хјуз полицајац је најпре постављен тако да може да види подручја B и D, док му зид заклања подручја А И C.
Дете се потом уводи у задатак. Хјуз прво ставља лутку дечака у подручје А и пита да ли полицајац може да види дечака. Питање се редом понавља за сва остала подручја. Затим се полицајац поставља на супортну страну, лицем према зиду који одваја подручје А од подручја C. Од детета се тражи да „лутку сакрије тако да је полицајац не може видети''. Уколико дете начини неку грешку у тим приремним фазама, на грешку му се указује и питање се повавља све док не да тачан одговор.
Онда почиње права порвера. Задатак постаје сложенији. Уводи се други полицајац и обојица се поставе као на слици бр. 2.
ПОЛИЦАЈАЦ
ДЕТЕ
А
B
C
DD


Детету се каже да лутку дечака сакрије од оба полицајца, што се може постићи једино ако се узму у обзир и ускладе две различите тачке гледања. То се понавља три пута, так ода сваки пут као једно ставновише остаје друго подручје.
Резултати овог истраживања дали су веома важне резултате. Када је тридесеторо деце између три и по и пет година добило овај задатак, 90% одговора било је тачно. Чак је и десеторо најмађе деце, чији је просечни узраст износио свега три године и девет месеци, потигло упех у 88% случајева.
Ова и слична истраживања иду и корак даље, испитујући важност начина на који постављамо питања или задатак, мотивацију коју дете има приликом његовог решавања, разумевање поствљеног задатака, питања од стране детета и сл.
Изнети примери јасно говоре да има аутора који тврде да смо сви, током целог свог живота, егоцетрични у неким ситуацијама, а да смо у другим врло способни да се децетрирамо и да су деца много мање егоцетрична него што је то тврдио Пијаже.
ПОЛИЦАЈАЦ
ДЕТЕ
А
B
C
DD
ПОЛИЦАЈАЦ

РАЗВОЈ ПОЈМА СКУПА
УВОД

Предшколски период у развоју детета је критичан период за формирање предпојмова неопходних за даљи успешан развој логичко математичког мишљења и фомрирање појма броја.
Пут до формирања појма броја полази од изградње појма скупа и развоја логичко математичких операција као што су класификација, серијација, коресподенција и др.
Једно од основних правила у процесу изградње појма скупа и развоју наведених логичичко математичких операција јесте поступност и праћење тока развоја мишљења: Од конкретног ка апстрактном; Од појавног ка суштинском; Од опажајног ка појмовном; Од егоцетричног ка социјализованом; Од фрагментарног ка системском.
Као што је истакнуто, Пијажеова теорија извршила је огроман утицај откривајући пут развоја појединих мисаоних структура. То је разлог због којег се и данас ослањамо на ову теорију у методици развоја почетних математичких појмова.
Међутим, иакп на пприче пптребу делпваоа на развпј лпгичкп математичких структура у предшкплскпм перипду, Пијаже сматра да дете пвпг узраста није у стаоу да схвати мнпге математичке ппјмпве и да никаквим ппступцима не мпжемп убрзати прелазак из једне у другу фазу развпја мишљеоа. У прилог овпј тези наводи се чињеница да дете може да научи да броји, али то није поуздан знак да је оно усвпјило појам броја. Пијаже сматра да превремено наметање математичкх појмова чини да их деца уче као језичке шаблоне и да их она у суштини не разумеју. Остаје питање можемо ли се сви сложити са Пијажеовом теоријом у целости?

ЛОГИЧКО МАТЕМАТИЧКЕ ОПЕРАЦИЈЕ

У основи развоја математичког мишења, развоја појма скупа и појма броја, стоји читав низ логичко математичких операција које дете треба да савлада (кроз игру, практичне животне активности, организоване активности којима претходни мотивација детета за учествовањем, које су пропраћене емоционалним доживљајем детета и ослањају се на методу решавања проблема...).
Поменућемо неке од важнијих математичких операција које постепено треба развијати на предшколском узрасту.

КЛАСИФИКАЦИЈА

На почетку развоја појма скупа, на путу развоја до појма броја, јесте вежбање у класификацији конкретних предмета по неком карактеристичном својству.
Да би извршило класификацију дете мора бити у стању да мисаоно одвоји ствојство предмета и то својство потражи на другим предметима, које ће затим груписати по том својству. Како се дете у свом мишљењу често ослања на опажајно дато, оно што ће код предмета прво запазити јесте облик, боја и величина.
Операцију класификовања дете увежбава свакодневно, у различитим животним ситуацијама. Рецимо када, у вртићу, од деце тражимо да врате играчке на своје место дешава се операција класификовања којом се ''ствари које сусличне'' стављају у једну кутију. (нпр. сва превозна средства, све коцке једне врсте и сл).Критеријум класификације треба мењати, како би мисаона активност детета била потпунија. Сложеност операције класификације може се отежати повећавањем броја критиеријума и броја предмета које треба разврставати. Након што увежбају класификацију сличних премета деца су у стању да класификују предмете у подскупове. У овим активностима велику помоћ васпитачу могу пружити дидактичка средства: логички блокови и обојени штапићи.
Осим повезивања објеката у мисаону целину, за потпуно схватање појма скупа детету је потребно да се ослободи од превеликог ослањања на опажајно дато, односно на перцептивне каратеристике елемената скупа. Дете више поштује простор него садржај скупа, више се занима за облик, боју и величину елемената скупа, а тек касније перципира кватитативне особине. Задатак је васпитача да својим поступцима и планираним активностима помогне детету да се ослободи од превеликог ослањања на опажајно дато и подстакне његову перцепцију квантитативних особина скупа.

ПРОЦЕС РАЗВОЈА КЛАСИФИКАЦИЈЕ

Процес развоја класификације тече постепено. Дете најпре слаже предмете један уз други, један на дрги, без икаквог критеријума. Сасвим спонтано јављају се груписања предмета према неком својству, али то још увек не представља логичко класификовање. У циљу развоја логичке класификације васпитач треба да: Усмерава дечију пажњу на поједине предмете и поједина својства предмета кроз игре именовања предмета и њихових особина; Подстиче уочавање сличности и разлика међу предметима користећи ситуације и организујући активности:
  • Уочавања идентичности визуелно присутних предмета;
  • Уочавања индетичности када предмети нису истовремено у видном пољу;
  • Уочавања сличности међу различитим предметима;
  • Груписања предмета по неком својству.
Ове, и сличне активности, имају за циљ да се дете постепено води ка уочавању заједничког у низу предмета и ка груписању предмета према неком заједничком својству (класификацији), што представља почетак у развоју појма скупа.

КОРЕСПОДНЕЦИЈА

Коресподенција је механизам придруживања који представља почетак матемтатичког мишљења. То јо основни поступак којим се, код предшколског детета, изграђу појмови „више“, „мање“, „једнако“, „више за један“, „мање за један“. Придруживањем предмета једног скупа, предметима другог скупа (1:1 коресподенцијом) дете утврђује квантитативне особине два скупа (или да елемената има једнако, или да једних има више, а других мање).

СЕРИЈАЦИЈА

Серијација представља уређивање предмета према степену неког својства у растући или опадајући низ - од најмањег до највећег, од најкраћег до најдужег и обратно. Увођење деце у вршење серијације почиње упоређивањем три предмета и формирањем одговарајућих појмова, као што су: велики, већи, највећи и слично. У почтеној фази вршења серијације, најбоље је користии средства која се разликују само по димензији по којој се уређују, док су, у погледу других својстава, потпуно исти. То олакшава детету да се концетерише само на критеријум уређивања. Серијација има важно место у формирању појма броја и схватању броја у бројном низу.

ДВОСТРУКА СЕРИЈАЦИЈА

Двострука серијација представља уређивање предмета истовремено по два критеријума (нпр. у скупу разнобојних квадрата треба уредити само плаве квадрате, од најмањег ка највећем).

СЕРИЈАЛНА КОРЕСПОДЕНЦИЈА
Серијална коресподенција је сложенија математичко логичка операција у којој се истовремено врши серијација у растући или опадајући низ и коресподенција (придруживање одговарајућих величина уређеном низу или одређеном предмету-објекту).

УНАКРСНА КЛАСИФИКАЦИЈА

Начин класификовања у којем се предмети – објекти који се рапоређују у истом тренутку распоређују по два и више критеријума. При томе се увек полази од најједоставнијих и деци блиских критеријума, са циљем да деца сама отркрију принцип распоређивања.

ФОРМИРАЊЕ ПОЈМА СКУПА

Као што је већ истакнуто, скуп представља фундаменталан појам преко кога се деца уводе у појам броја. Важно је уочити да деца могу груписати предмете по неком својству али то још увек није показатељ да су схватила појам скупа.
Дете је схватило појам скупа тек када је је способно да на основу неког својства, повеже објекте у мисаону целину и каже елементе формираног скупа.
Скуп могу чинити перцептивно потпуно различити елементи, али елементи које смо повезали у једну мисаону целину. Рецимо, елементи скупа могу бити: вук, бака, ловац и Црвенкапа – као скуп ликова из бајке „Црвенкапа“. И одасли понекада погрешно сахватају да само објекти са заједничким перцептивним особинама учествују у формирању скупа. Деца често схватају скуп на овај начин, што је погрешно и што треба исправљати.
Треба напоменути и да, када у васпитно образовном раду са предшколском децом, стварамо скупове, морамо бити веома опрезни у бирању и дефинисању особине на основу које формирамо скуп од одређених елемената. Важно је не направити педагошку грешку нпр. „скуп добре деце наше групе'' значио би да деца која нису у том скупу нису добра.
Поступак повезивања одређених конкретних и мисаоних објеката у логичку целину коју називамо скуп тече:
од блиских објеката ка онима који су даља дечијем искуству, од примера скупова које ствара васпитач до примера скупова које формирају деца, од опажајно датих елемената скупа, преко њихових слика, до графичког престављања симболима и замишљених елемената скупа, од скупова са мањим бројем елементата (у средњој групи до пет) до скупова са већим бројем елемената у најстаријој групи.
Појам скупа увежбава се и утврђује активностима у којима се врше операције скуповима:
Растављање већих скупова на мање – у којима је циљ да деца уоче да се сваки скуп може раставити на мање скупове који представљају нову целину (нпр. скуп посуђа – скуп тањира, скуп кашика); Састављање мањих скупова у веће – у којима је циљ да деца уоче да се сваки скуп састоји од елемента скупа и да упознају кватитативну промењивост скупова; Уређивање скупова кроз следеће поступке:
o процењивање од ока;
o сликовна коресподенција (распоређивање елемента једног скупа тако да даје слику као и елеметнти другог скупа) ;
o оптичка коресподенција 1:1 (дете поређа један скуп а затимл поред њега стави елементе другог скупа тако да елементи оба скупа стоје једни наспрам других) ;
o Бројање елемената скупова (уз контролну помоћ коресподенције тј. придруживања) ;
o Бројање једног и другог скупа и директно вербално упоређивање бројева.

ПОЈАМ ПОДСКУПА

Осим игре скуповима, могуће је, са децом предшколког узраста, радити на активностима и играма који ће им помоћи у схватању појма подскупа. Умето израза ''подскуп'', са децом ћемо често користити израз „део скупа''. Када формирамо подскупове важно је развити схватање да подскуп може бити и празан скуп, односно да скуп не мора садржати ни један елемент.

ПОЈАМ ЈЕДНАКИХ И ПОЈАМ ЕКВИВАЛЕТНИХ СКУПОВА

Ова два појма су два птотпуно различита појма и никако их не семемо мешати. Једнаки скупови су они који садрже потпуно исте елементе чији је број исти у оба скупа. Еквивалетни скупови су они који могу садржати различите елементе али истог броја. Зато никада за два скупа са истим бројем елемената не треба рећи да су „једнаки“ већ само да су „једнаки по бројности''

ГРАФИЧКО ПРЕДСТАВЉАЊЕ СКУПА

Скуп се може представљати као једна равна површ оивичена једном кривом затвореном линијом која се зове Венов дијаграм. Са Веновим дијаграмом упознају се деца најстарије групе.

КВАНТИТАТИВНЕ ОСОБИНЕ СКУПА

Важно је и да деца временом, током развоја појма скупа, науче да занемарују редослед и перцептивна својства елемената скупа и да постепено уочавају квантитавне особине скупова, односно, бројност елемената скупа.
Квантитативне особине скупа увежбавају се најпре са скуповима са мањим бројем елементата (један, два). Деца узраста од 4 до 5 година треба да упознају скуп природних бројева до 5 а деца најстрије групе скуп природних елемената до 10.
Упоређујћи скупове, придружујући елементе једног скупа другом, деца долазе до појмова мање више, исто толико, који су неопходни за формирање појма броја. При томе је важно напоменути да је погрешно при упоређивању скупова говорити да је један скуп„већи“ или „мањи“ од другога. Скупови могу бити једнакобројни или неједнакобројни (са више или мање елемената скупа).
У развоју схватања квантитативних особина скупа важно место имају развој појмова скупа са једним и два елемента и празног скупа.
Једночлан скуп је погодан за развијање схватања разлике између једног елемента и скупа који садржи један елемент. Развој појма празног скупа пут је ка проширивању појма скупа ван првобитног интуитивног сазнања о појму скупа.
И на крају овог разматрања, покушајмо да сумирамо основне методске поступке на путу формирања појма сткупа, до формирања појма броја:

УЗРАСТ ДЕЦЕ ОД ТРИ ДО ЧЕТИРИ ГОДИНЕ:

манипулисањем премета опажати главне особине, именовати предмете и, где је могуће, стварати групе од појединачних предмета; практично издвајање појединачних предмета из групе предмета; коришћењем природних средстава и материјала, животних ситуација и организованих активности, развијати схватање односа: много-мало, много-један, много-ниједан; користити све ситуације уза уочавање слиности и разлика међу предметима; у природним и другим ситуацијама уочавати и именовати једно, два заједничка својства предмета једне групе; порджати радозналост деце за бројеве (две руке, две ноге, једна глава, два ока...); посматрањем предмета издвојити их по наглашеним особинама (увођење деце у класификацију); у играма поступно користити формирање скупова до три елемента; уочавати и разликовати појмове випе и мање између група ппредмета, ако постоји велика разлика у колични;

УЗРАСТ ДЕЦЕ ОД ЧЕТИРИ ДО ПЕТ ГОДИНА

Уочавање осноса много-мало, много-ништа, много-један, много-ниједан; Уочавати природне групе предмета: хрпа лишћа, гомила камења, јато птица...) Стварати са децом скупове до пет елемената, уз графичко престављање поштујући принцип поступности од један до пет; Придруживати скупве упоређивањем уз физичко кореспондирање елемената и уочавати количине: једнако, више, мање; Класификовати скупове према одређеним критеријумима, (облик, боја, величина, намена....) Развијати појмове ''више за један'', „мање за један“, до пет елемената уз помињање броја; Правити серијације скупова до пет елемената; Организовати активности у којма ће се елементи скупова представљати симболима;

УЗРАСТ ДЕЦЕ ОД ПЕТ ДО ШЕСТ ГОДИНА

Формирати скупове од шест до десет елемената, чији садржаји, осим предмета, могу бити и разни звукови и покрети....кроз операције придруживања, класификације, растављања, састављања, серијације – ситуације користити за уочавање структуре броја; Отежавати класификацију предмета са два и три критеријума; Графички приказивати односе међу елементима скупова: коришћење симбола, графичко приказивања пара – везивање стрелицом и слично; Вршење операције серијације скупова – када су предмети елемената скупа различити по врсти и величини;

5.
ПРИМЕР ЈЕДНЕ МАТЕМАТИЧКЕ АКТИВНОСТИ
Тема: „ЗГРАДА“
Образовни задаци: Даљи развој појма скупа кроз уочавање односа много-један, више-мање у групи предмета, процес класификације, упоређивање скупова придруживањем елемената једног скупа другом скупу и уочавање кванититативних особина скупа. Понављање и утврђивање просториних релација (поред, изнад и испод);
Васпитани задатак: развој пажње, перцепције, апстрактног мишљења и закључивања;
Ток активности:
Разговарамо са децом о граду и изгледу зграда. Договарамо се о предстојећој активности у којој ћемо правити прозоре нашој згради од картона.
Деца седе у кругу. На под, у средини круга, постављамо гомилу разнобојних папира у две величине. Оставимо у руци један папир. Договарамо се да папири представљају „прозоре“. Питамо децу: Колико „прозора има на тепиху?“ А колико прозора ја држим у руци?“ Где има више прозора, на тепиху или у мојој руци? (Уочавање одсноса много-један).
Затим делимо децу у неколико различитих група. То можемо учинити на различте начине, рецимо, на наслонима столица су већ залепљени одређени знаци који децу сврставају у одређене групе. Затим свака група добија задатак да прикупља одређену врсту прозора и ставља их на договорено место. Рецимо, једна група узима само мале зелене прозоре. (Класификација по два критеријума).

Када смо класификовали све прозоре позивамо децу да пробају да утврде којих прозоре има највише а којих најмање. Показујемо им наичин како да своје тезе потрде или одбаце – физичком коресподенцијом - придруживањем елемената. Најпре издвајамо један скуп елемената а затим све остале скупове упоређујемо са осталима. (Придруживање елемената).

Затим тражимо одговоре којих елемената односно прозора има највише а којих најмање, којих више а којих мање. (Утврђивање појмова више и мање).
На крају из сваке групе издвајамо по четири елемента – прозора који ће нам требати за нашу зграду. У сваком реду зграде лепимо по четири прозора. Лепимо од врха ка дну и од леве ка десној страни зграде. (Уочавање квантитативних особина скупа).
На крају, уз пријатну музику, цртамо девојчице и дечаке који живе у нашој згради. Приликом лепљења на прозоре увежавати појмове „поред'' „изнад“, „испод“,

ЛИТЕРАТУРА:
1. Мирко Дејић, Методика развоја почетних математичких појмова, Учитељски факултет у Београду;
2. Мило Латковић, Душан Липовац, Велимир Сотировић, Методика почетних математичких појмова, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд
3. Матгарет Доналдсон, Ум детета, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд
4. Емил Каменов, Интелектупано васпитање кроз игру, Завод за уџбенике и наставна средства, Београд
5. Многобројни ресурси коришћени са Интернета;